过关练1：(浙江省常山县第一中学等三校一模第21题)

已知在双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>b>0)C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),的离心率为2\sqrt{2},且点A(2,1)在双曲线CC上.

(1)求双曲线CC的方程.
(2)若M,N在双曲线CC上，且AM ⊥\bot AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值.

过关练2：（安徽六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试第21题）

已知双曲线 C1:x2a2−y2b2=1(a>b>0)C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的右焦点为F(3\sqrt3,0)，渐近线与抛物线C2:y2=2px(p>0)C_2: y^2=2px(p>0)
交于点(1,22\frac{\sqrt2}{2}).

(1)求C1,C2C_1,C_2的方程;
(2)设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M,N，使得AM ⊥\bot AN.
(ⅰ)求证:直线MN过定点;
(ⅱ)过A作AD ⊥\bot MN于D.是否存在定点P，使得为 |DP| 为定值?如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由.

过关练3：（2023年2月温州市高三开学考数学第21题）

如图，椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的左右焦点分别为，点P(x0x_0,y0y_0)是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P,F1,F2的圆与y轴正半轴交于点A(0,y1)，经过点B(3,0)且与x轴垂直的直线l与直线AP交于点Q.
(1)求证: y0y1y_0y_1=1;
(2)试问:x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线MP,MQ的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出定点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.

过关练4：（2021年11月南师附中高三上期中考试第21题）

已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 经过点
(-2，1) 且C的右顶点到一条渐近线的距离为 63\frac{\sqrt6}{3}

(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P分别作两条直线l1,l2与C交于A，B两点(A，B两点均不与点P重合)，设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.若k1+k2=1试问直线AB是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标;若不经过定点，请说明理由.