例 1：2022 年 6 月新高考Ⅰ卷第 18 题

在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，已知 cos⁡Asin⁡B+sin⁡Acos⁡B=12\cos A \sin B + \sin A \cos B = \frac{1}{2}。

  1. 若 C=2π3C = \frac{2\pi}{3}，求 BB；
  2. 求 a2+b2−c2a^2 + b^2 - c^2 的最小值。

例 2：2023 年 8 月浙江省 A9 协作体返校联考第 17 题

在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 所对的边分别为 aa、bb、cc，且满足 3sin⁡Acos⁡B+sin⁡Bcos⁡A=2sin⁡C3\sin A \cos B + \sin B \cos A = 2\sin C。

  1. 求角 AA；
  2. 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，求 4sin⁡2B−4sin⁡Asin⁡C4\sin^2 B - 4\sin A \sin C 的取值范围。

例 3：2023 年 1 月重庆康德卷“一诊”第 17 题

在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，且 (cos⁡Asin⁡B+sin⁡Acos⁡B)=12(\cos A \sin B + \sin A \cos B) = \frac{1}{2}。

  1. 求角 CC；
  2. 求 a2+b2c2\frac{a^2 + b^2}{c^2} 的最大值。

例 4：2023 年 2 月湖南省部分学校高三联考第 18 题

在锐角 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA、BB、CC 所对的边分别为 aa、bb、cc。

  1. 若 cos⁡B=2cos⁡Ab−ac\cos B = \frac{2\cos A}{b} - \frac{a}{c}，证明：tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=1\tan A + \tan B + \tan C = 1；
  2. 若 sin⁡A=2sin⁡Cb\sin A = \frac{2\sin C}{b}，求 tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C 的最小值。

例 5：福建省宁德市五校教学联合体高三 3 月质量监测第 18 题

记锐角 △ABC\triangle ABC 的内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，已知 sin⁡Asin⁡B−sin⁡Asin⁡C=sin⁡Bsin⁡C\sin A \sin B - \sin A \sin C = \sin B \sin C。

  1. 求证：B=CB = C；
  2. 若 sin⁡A=2c\sin A = \frac{2}{c}，求 a2+b2c2\frac{a^2 + b^2}{c^2} 的最大值。

例 6：2023 年 3 月河北省衡水中学第三次综合素养评价第 18 题

已知在 △ABC\triangle ABC 的内角 AA、BB、CC 所对边分别为 aa、bb、cc，且 2cos⁡C=ab+bc2\cos C = \frac{a}{b} + \frac{b}{c}。

  1. 求证：C=BC = B；
  2. 求 ac+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} 的取值范围。

例 7：2023 年岳阳市一模第 19 题

在 △ABC\triangle ABC 中，三个内角的对应边分别为 aa、bb、cc。

  1. 证明：sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C=4cos⁡Acos⁡Bcos⁡C\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos A \cos B \cos C；
  2. 求 sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C\sin A + \sin B + \sin C 的取值范围。

例 8：2023 年 1 月金华十校高三上期末第 20 题

记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，已知 cos⁡A=sin⁡Bb−sin⁡Cc\cos A = \frac{\sin B}{b} - \frac{\sin C}{c}。

  1. 若 b≠cb \neq c，证明：a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2；
  2. 若 B=2CB = 2C，证明：32c>b>23c\frac{3}{2}c > b > \frac{2}{3}c。

例 9：2023 年 1 月湖南怀化高三期考第 17 题

从①、②、③ 这三个条件中任选一个，补充在下列横线上，并解答。
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，且满足：

  1. 求角 CC 的大小；
  2. 若 a=ba = b，求 △ABC\triangle ABC 的周长的取值范围。
  • ① asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
  • ② cos⁡A+cos⁡B=2a\cos A + \cos B = \frac{2}{a}
  • ③ asin⁡A=bcos⁡B+ccos⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\cos B} + \frac{c}{\cos C}

例 10：江苏省苏北四市高三第一次调研第 17 题

已知为锐角三角形，内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，若 cos⁡A=ba\cos A = \frac{b}{a}。

  1. 求 CC；
  2. 若 c=2c = 2，求 △ABC\triangle ABC 的周长的取值范围。

例 11：2023 年 2 月安徽省马鞍山市高三一模数学解析第 18 题

已知条件：① tan⁡A+tan⁡B=2ab\tan A + \tan B = \frac{2a}{b}；② 1+sin⁡2C−cos⁡2C=3sin⁡2C+11 + \sin^2 C - \cos^2 C = \frac{3}{\sin^2 C} + 1；③ 32a=c+π2\frac{3}{2}a = c + \frac{\pi}{2}。在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答。
问题：在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 所对的边分别是 aa、bb、cc，满足：

  1. 求角 CC 的大小；
  2. 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，c=3c = 3，求 a2+b2a^2 + b^2 的取值范围。
    注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。

例 12：2023 年 2 月嵊州市期终考试第 20 题

已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，且 cos⁡2B−cos⁡2C=sin⁡2A−sin⁡2B\cos^2 B - \cos^2 C = \sin^2 A - \sin^2 B。

  1. 求角 CC 的大小；
  2. 若 CD⊥ABCD \perp AB 于 DD，CD=3CD = 3，求 △ABC\triangle ABC 的面积的最小值。

例 13：巴蜀中学 2023 届高考适应性月考卷（七）第 17 题

在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA、BB、CC 的对边分别为 aa、bb、cc，已知 3sin⁡C+4cos⁡C=53\sin C + 4\cos C = 5。

  1. 求证：3tan⁡C=43\tan C = 4；
  2. 若 a2+b2=1a^2 + b^2 = 1，求边 cc 的最小值。

例 14：2023 年 3 月温州市高三二模第 20 题

已知 △ABC\triangle ABC 满足 sin⁡2C−sin⁡2B=2sin⁡Asin⁡C−2sin⁡Bsin⁡A\sin^2 C - \sin^2 B = 2\sin A \sin C - 2\sin B \sin A。

  1. 试问：角 BB 是否可能为直角？请说明理由；
  2. 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，求 $\frac{\sin C}{\sin A}