《解三角形》大题（二）—中间线

（一）等分线

例 1：2023 届第三次联合测评第 17 题

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 9$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$AD = 7$。

1. 若 $\cos \frac{3B}{2} = \frac{3}{2}$，求 $BD$ 的值；
2. 若 $\cos \frac{\angle BAC}{3} = -\frac{3}{2}$，且点 $D$ 是边 $BC$ 的中点，求 $AC$ 的值。

例 2：2023 年 2 月广东省梅州市高三一模第 17 题

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $3\sin A \cos B + 2a = b + c$。

1. 求内角 $A$；
2. 点 $M$ 是边 $BC$ 上的中点，已知 $AM = 2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。

例 3：2023 湖南省炎德英才高三下学期 2 月联考（第六次联考）第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且满足 $2\cos^2 C + \sin \frac{b}{a} = \sin B$。

1. 求角 $B$ 的大小；
2. 若 $b = 8$，$D$ 为边 $AC$ 的中点，且 $BD = 3$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

例 4：2023 年 3 月皖北协作区联考第 19 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a = 2$，$\sin A + \frac{4c}{b} = \pi$。

1. 求角 $C$；
2. 若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，$D$ 为 $AB$ 边的中点，求线段 $CD$ 长的取值范围。

例 5：2023 年 2 月上虞区高三期末第 17 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别是 $a$、$b$、$c$，且满足以下条件之一：

1. $2\sin A \tan B = b$；
2. $a^2 - b^2 - c^2 = -2bc$；
3. $3\sin A + \cos A = 1$。
   （1）求角 $A$ 的大小；
   （2）若 $\frac{AB}{AC} = 1$，点 $D$ 满足 $\frac{BD}{DC} = 3$，求线段 $AD$ 长的最小值。

例 6：2023 年 3 月湖北省七市州联考第 17 题

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $2\cos^2 B + 2b = c + a$。

1. 求 $B$；
2. 设 $b = 9$，若点 $M$ 是边 $AC$ 上一点，$\frac{AM}{MC} = 2$，且 $\angle MAB = \angle MBA$，求 $\triangle BMC$ 的面积。

例 7：2023 年 3 月太原市高三一模第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，$a$、$b$、$c$ 分别为内角 $A$、$B$、$C$ 的对边，点 $D$ 在 $BC$ 上，$BD = CD$，$AD = 2$。

1. 从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求 $A$；
   • 条件①：$\sin^2 B + \sin^2 C + \sin^2 A = 3\sin B \sin C \sin A$；
   • 条件②：$\cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C = \sin^2 B + \sin^2 C$。
2. 在（1）的条件下，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。

（二）角平分线

例 1：2023 年 2 月江苏扬州市高三上期末第 18 题

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，选择以下条件之一解答问题：

1. 向量 $(\cos A, 1)$ 与向量 $(b, c + a)$ 平行；
2. $a^2 + b^2 = bc$；
3. $\cos A = 2\cos^2 B - \frac{1}{2}$。
   （1）确定角 $A$ 和角 $B$ 之间的关系；
   （2）若 $D$ 为线段 $BC$ 上一点，且满足 $BD = 3AD$，若 $a = \frac{3}{4}b$，求 $b$。

例 2：重庆西南大学附中 2023 届高三下学期 2 月质检第 20 题

在 $\triangle ABC$ 中，记角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $\sin A = \tan B - 2\cos A$。

1. 若 $\tan B = 1$，求 $\tan C$ 的值；
2. 已知中线 $AM$ 交 $BC$ 于 $M$，角平分线 $AN$ 交 $BC$ 于 $N$，且 $\frac{AM}{MN} = 3$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

例 3：2023 年 2 月金华十校高三卷第 19 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对应的边是 $a$、$b$、$c$，满足 $2\cos^2 C + a = c + 1$，且 $2B \neq A$。

1. 求证：$3A = C$；
2. 若 $C$ 为钝角，$D$ 为边 $AC$ 上的点，满足 $4\cos^2 A - CD = AD$，求 $\frac{BD}{CD}$ 的取值范围。

例 4：2023 年 3 月沈阳高三一模第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $\sin A + 3\cos A = 0$。

1. 求角 $A$ 的大小；
2. 给出以下三个条件：
   • 条件①：$a = \frac{4}{3}$，$b = \frac{4}{3}$；
   • 条件②：$b^2 + c^2 - a^2 = 10$；
   • 条件③：$S_{\triangle ABC} = \frac{15}{3}$。
     若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答问题：
   • (ⅰ) 求 $\sin B$ 的值；
   • (ⅱ) $\angle BAC$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $D$，求 $AD$ 长。

例 5：2023 年 2 月嘉兴高三期末考第 18 题

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知三角形面积公式 $(b+c)^2 - a^2 = 3bc$，角 $A$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 边于点 $D$。

1. 证明：$3bc = AD \cdot (b+c)$；
2. 若 $BD = 2DC$，$AD = \frac{4}{3}$，求 $\triangle ABC$ 的周长。

例 6：2023 届山东省淄博市高三一模第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，满足 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = a^2b^2 - c^2$。

1. 求角 $C$；
2. 若角 $C$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$，且 $CD = 2$，求 $2a + b$ 的最小值。

例 7：2023 年 3 月 THUSSAT 诊断性测试第 18 题

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $2\cos^2 B - 2b = a - c$。

1. 求角 $B$；
2. 设 $\angle ABC$ 的角平分线 $BD$ 交 $AC$ 于点 $D$，若 $BD = 2$，求 $\triangle ABC$ 的面积的最小值。

例 8：安徽省池州市 2023 年 3 月高三教学质量统一监测第 18 题

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $\frac{1}{\cos A} - \frac{2\sin B}{\cos C} = \frac{b}{a} - \frac{c}{b}$。

1. 证明：$a^2 + b^2 = c^2$；
2. $D$ 是 $BC$ 上的点，$AD$ 平分 $\angle BAC$，若 $a = 2$，$AD = 10$，求 $\cos \angle BAC$。

例 9：2023 年 3 月高三数学顶尖计划第 18 题

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $3b = 3\cos A + \sin C$。

1. 求 $C$；
2. 若 $AB \perp AC$，$AC = 3$，角 $C$ 的平分线交 $AB$ 于点 $D$，点 $E$ 满足 $DE = CD$，求 $\sin \angle AEB$。

例 10：山东烟台市 3 月高三一模第 18 题

在锐角 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $2\cos C - b = a$。

1. 求证：$2A = B$；
2. 若 $A$ 的角平分线交 $BC$ 于 $D$，且 $c = 2$，求 $\triangle ABD$ 面积的取值范围。

（三）其他线

例 1：2023 年 1 月苏州高三零模第 17 题

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$，对边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $2\cos^2 B + a = 2b$，$c = 2$。

1. 求 $A$；
2. 若 $\tan C = 2$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$\angle ADB = \angle ABC$，求 $AD$。

例 2：浙江省十校联盟 2023 届高三第三次联考第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 上一点，$DC = 3$，$AD = 5$，$AC = 7$，$\angle ABC = \angle DAC$。

1. 求 $\angle ADC$ 的大小；
2. 求 $\triangle ABC$ 的面积。

例 3：2023 届湖北高三圆创三月联合测评第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是边 $BC$ 上的点，$\angle CAD = 45^\circ$，$\frac{AB}{BD} = \frac{2AC}{CD}$。

1. 求 $\frac{BD}{ABD}$；
2. 若 $\frac{AB}{AD} = 2$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

例 4：2023 年 2 月大联考山东专版第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 2AC$，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$\frac{CAD}{BAD} = 2$。

1. 若 $\angle BAC = 45^\circ$，求 $\frac{BD}{CD}$ 的值；
2. 若 $AC = 1$，求 $AD$ 的取值范围。

例 5：2023 年 5 月安徽省江淮十校联考第 17 题

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{3} + b = a + B$。

1. 求角 $A$ 的大小；
2. 点 $D$ 为边 $BC$ 上一点（不包含端点），且满足 $\angle ADB = \angle ACB$，求 $\frac{DC}{BC}$ 的取值范围。

例 6：2023 年 3 月山西省一模第 18 题

如图，四边形 $ABCD$ 中，$AB = 2AD = 4$，$BD = BC$，$\angle DBC = 2\pi/3$，$\sin \theta \cos \theta + 4 = 7$。

1. 求 $\triangle ABD$ 的面积；
2. 求线段 $AC$ 的长度。

例 7：常德市 2022-2023 高三协考第 18 题

在梯形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，且 $AD = 2$，$BC = 4$。

1. 若 $AB = 3$，$CD = 2$，求梯形 $ABCD$ 的面积；
2. 若 $\angle DBA = \angle DBC$，证明：$\triangle ABC$ 为直角三角形。

例 8：广东 8 月 24 日金太阳联考第 18 题

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 135^\circ$，$AB = 4$，$AC = 2\sqrt{2}$。

1. 求 $\sin \angle ABC$ 的值；
2. 过点 $A$ 作 $AD \perp AB$，$D$ 在边 $BC$ 上，记 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值。

例 9：2023 年 8 月辽宁十校联合体第 17 题

已知 $H$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，$AD$、$BE$、$CF$ 为三角形的三条高线，且满足 $9HD \cdot HE \cdot HF = HA \cdot HB \cdot HC$。

1. 求 $\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$ 的值；
2. 求 $\cos \angle CAB \cdot \cos \angle CBA$ 的取值范围。

例 10：2023 年 9 月湖北省黄冈市调研第 21 题

在 $\triangle ABC$ 中，$a$、$b$、$c$ 分别为角 $A$、$B$、$C$ 所对的边，$CD$ 为边 $AB$ 上的高，设 $CD = h$，且 $a + b + c = h$。

1. 若 $c = 3h$，求 $\tan C$ 的值；
2. 求 $\sin C$ 的取值范围。